Klausur-Beispiele aus dem Skript

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Aufgaben zur / zum                                                                                                        

Statik

Festigkeitslehre

Kinematik

Energieerhaltung

Schwingungsgleichungen

 

 

Aufgaben zur Festigkeitslehre

 

·             Flächenmomente 2. Grades

·             Querschnittswerte-Beispiel Nr. 1   Flächenmomente eines zusammengesetzten Querschnitts

·             Querschnittswerte-Beispiel Nr. 2   Richtung der Hauptachsen und Hauptflächenmomente des Winkelprofils 

·             Einfach- und doppeltsymmetrische Querschnitte mit Symmetrieachsen y, z

·             Querschnittswerte-Beispiel Nr. 4  symmetrischer Querschnitt, Rechteck unter der Belastung eines Biegemomentes

·             Querschnittswerte-Beispiel Nr. 5 Belastung eines unsymmetrischen Querschnitts durch Biegemomente

·             Transformation der Schnittlasten auf die Hauptachsen

·             Schiefe Biegung eines Balkens

·             Bewertung der Beanspruchung durch Berechnung einer Vergleichsspannung  

·             Berechnung der Vergleichsspannung

 

 

Berechnung von Querschnittswerten

Flächenmomente 2. Grades

 

Flächenschwerpunkt

 

Zur Berechnung des Schwerpunktes des Querschnittes eines Stabes (xs,ys)  werden die Eckpunkte der Teilflächen i=1, …n mit Flächeninhalt Ai zunächst auf ein beliebiges rechtwinkliges Koordinatensystem bezogen. Die Berechnung kann tabellarisch erfolgen. Für einfache Querschnitte genügt das Aufschreiben der Formeln, wobei die Maße einer Zeichnung entnommen werden.

 

 

Flächenmomente 2. Grades

Das Produkt E . I (siehe oben, Gleichung der Biegelinie) nennt man Biegesteifigkeit. Hierin ist I das Flächenmoment 2. Grades. Das Flächenmoment 2. Grades im Schnitt der y-z-Ebene ist

Für einen Balken mit rechteckigem Querschnitt h \cdot b ist

Das Biegemoment ist die Resultierende der Biege(normal)spannungen infolge eines Biegemoments. Dies sind in Richtung der Achse x wirkende Spannungen mit einer linearen Verteilung zwischen den Randfasern (Druckfaser und Zugfaser), Die Biegespannung ist:

 

Iy ist das Flächenmoment 2. Grades des Querschnitts um die Achse, um die das Biegemoment dreht.

 

Ist das Moment positiv, treten für z > 0 Zug- und für z < 0 Druckspannungen auf. Da positive Momente nach unten abgetragen werden, muss die positive z-Achse nach unten zeigen.

 

Die betragsmäßig größte Spannung tritt in der äußersten Faser zmax auf.

Das Widerstandsmoment ist

 

Die maximale Biegespannung ist

 

 

Es ist darauf zu achten, dass W mit dem Wert zmax berechnet wurde, für den auch die Spannung ermittelt werden soll! Sowie auf die Vorzeichen.

 

Berechnung der Flächenmomente 2. Grades

Axiale Flächenmomente

 

Die axialen Flächenmomente in einem kartesischen Koordinatensystem sind

 

Das biaxiale Flächenmoment oder auch Deviations- oder Zentrifugalmoment ist:

Es ist gleich Null, wenn die y-Achse oder die z-Achse eine Symmetrieachse des Querschnitts ist. Die zugehörigen Flächenmomente heißen dann Hauptmomente, sie nehmen in diesem Falle Extremwerte an. Im Gegensatz zu den axialen und zum polaren Flächenmoment kann das Zentrifugalmoment sowohl positive als auch negative Werte annehmen.

 

Satz von Steiner

Das Flächenmoment IyS einer beliebigen Querschnittsfläche setzt sich zusammen aus

 

·         den Flächenmomenten im Hauptachsensystem der einzelnen Teilflächen, Iys, Izs, und

·         dem Produkt aus dem Quadrat des Abstandes zss von der Schwerachse der Gesamtfläche zu der Schwerachse der Teilfläche mit dem Wert der Teilfläche.

 

Körperschwerpunkt

 

Der Schwerpunkt eines Körpers ist der Angriffspunkt der Resultierenden aller seiner Teilgewichtskräfte. Zu dessen Bestimmung hängt man den Körper mindestens zweimal (ebener Körper) auf und lotet den Aufhängepunkt aus. Die Lote schneiden sich im Schwerpunkt des Körpers.

 

Koordinaten des Schwerpunktes eines homogenen Körpers:

x(s) = (x(n) . V(n)) / V

y(s) = (y(n) . V(n)) / V

z(s) = (z(n) . V(n)) / V; V = V(n); n = 1, ...

 

andere Schreibweise:

 

 

Beispiel: Schwerpunkt und Flächenmoment 2. Grades

 

 

Es sollen nur die Werte zs sowie Iy berechnet werden.

 

Die Koordinaten der Schwerpunkte der beiden Teilflächen werden auf die untere Randlinie bezogen.

 

Da der Querschnitt symmetrisch zur z-Achse ist, können die beiden Teilflächen zu einer Teilfläche der Breite 8 + 8 = 16 mm zusammengefasst werden.

A1 = 24   .  60  =  1440 mm2

A2 = 2     .  8   .  30  =  480 mm2

  zs = 26,25 mm

 

Iz = Iz1 +            3,752  .  A1    +     Iz2 +   11,252  .  A2

Iz = Iz1 +            20250    +     Iz2 +   60750

 

Iz1 = 24 .  603/ 12 = 432000  mm4

Iz2 = 2 . 8 . 303/ 12 = 36000  mm4

 

Iz = 432000 + 20250 + 36000 + 60750

Iz = 549000 mm4

 

Hauptflächenmomente

Querschnittswerte-Beispiel Nr. 1:  Flächenmomente eines zusammengesetzten Querschnitts

Gewählt wird ein ungleichschenkliger Winkel nach DIN EN  10 056 (10.98) 100x50x6

(Bezüglich der Randabstände v und w siehe folgende Bilder)

r1

mm

r2

mm

ey

cm

ez

cm

w1

cm

w2

cm

v1

cm

v2

cm

v3

cm

tan α

g

kN/m

8

4

3,51

1,05

6,55

4,39

1,90

3,00

1,12

0,262

0,0684

 

 

             

 

Dimension cm; cm2

(siehe Zeichnung folgende Seite)

 

A1 = [10 . 0,6]

A1 = 6

A2 = [(5 – 0,6) . 0,6]

A2 =  2,64

A = A1 + A2 = 8,64 cm2

(Wert unter Berücksichtigung der Rundungen

ist 8,71 cm2)

 

ey = ([0,6/ 2] . 6  + [5/2 + 0,6] . 2,64)/ 8,64

ey = 1,15 cm  (Wert unter Berücksichtigung der

Rundungen ist 1,05 cm)

 

ez = ([10/2] . 6  + [0,6/ 2] . 2,64)/ 8,64

ez = 3,56 cm  (Wert unter Berücksichtigung der Rundungen

ist 3,51 cm)

 

Ungleichschenkliger Winkel nach DIN EN  10 056 (10.98) 100x50x6; Flächenmomente aus Tabelle

A

cm2

Iy

cm4

Wy

cm3

iy

cm

Iz

cm4

Wz

cm3

iz

cm

Ih

cm4

ih

cm

Iz

cm4

iz

cm

8,71

89,9

13,8

3,21

15,4

3,89

1,33

95,4

3,31

9,92

1,07

 

 

Flächenmoment 2. Grades der Teilfläche 1 des Winkels bezogen auf die

Achse y durch den Schwerpunkt der Teilfläche 1

Iy1 = 0,6 . 103 / 12 = 50

 

Dito, betreffend Teilfläche 2

Iy2 = 4,4 . 0,63 / 12 = 0,079

Flächenmoment 2. Grades der Teilfläche 1 des Winkels bezogen auf die Achse z durch den Schwerpunkt der Teilfläche 1

 I_z = {h \cdot b^3 \over 12} = A \cdot \frac {b^2} {12}Iz1 = 10 . 0,63 / 12 = 0,18

Dito, betreffend Teilfläche 2

Iz2 = 0,6 . 4,43 / 12 = 4,259

Flächenzentrifugalmoment der jeweiligen Teilfläche

Iyz1 = Iyz2 = 0

 

Flächenmoment 2. Grades des Winkels bezogen auf die Achse y durch den Schwerpunkt

Iy = {Iy1 + A1 . z1s2}  + {Iy2   + A2   . z2s2}

Iy = {50  + 6  . 1,492} + {0,079 + 2,64 . 3,212}

Iy =  90,60 cm4  (89,9 nach Tabelle unter Berücksichtigung der Rundungen)

 

Flächenmoment 2. Grades des Winkels bezogen auf die Achse z durch den Schwerpunkt

Iz = {Iz1 + A1 . y1s2}  + {Iz2   + A2 . y2s2}

Iz = {0,18 + 6 . 0,762} + {4,259 + 2,64 . 1,752}

Iz = 15,99 cm4   (15,4 nach Tabelle unter Berücksichtigung der Rundungen)

 

Flächenzentrifugalmoment

Iyz = {Iyz1 - A1 . y1s  . z1s}  + {Iyz2 - A2   . y2s  . z2s}

Iyz = {0    - 6  . 0,76 . 1,49} + {0    - 2,64 . 1,75 . 3,21}

Iyz = -21,62  cm4 

 

Querschnittswerte-Beispiel Nr. 2   Richtung der Hauptachsen und

Hauptflächenmomente des Winkelprofils im vorigen Beispiel

 

Richtung der Hauptachsen

tan 2.α = 2 . Iyz / (Iz – Iy)

tan 2.α = -2 . 21,62 / (15,99 – 90,6)

tan 2.α = 0,579

2 . α = 30,1 Grad

α = 15,05 Grad

tan α = 0,269  (0,262 nach Tabelle unter Berücksichtigung der Rundungen)

Ih =  (Iy + Iz)/2 + cos.(Iy - Iz)/2 - Iyz . sin

Iz =  (Iy + Iz)/2 - cos.(Iy - Iz)/2 + Iyz . sin

Ihz = . sin.(Iy - Iz)/2 + Iyz . cos

 

Iy = Iyy = 90,60         cm4                                 α = 15,05 Grad

Iz = Izz = 15,99         cm4                                  sin  2 . α = sin 30,1 =  0,50

Iyz = 21,62              cm4                                  cos 2 . α = cos 30,1 =  0,865

 

Ih =  0,5.(90,6 + 15,99) + 0,5.(90,6 - 15,99) . 0,865 +  21,62 . 0,5

Ih =  96,37 cm4       (95,4 mit Rundungen)

Iz =  0,5.(90,6 + 15,99) - 0,5.(90,6 - 15,99) . 0,865 -  21,62 . 0,5

Iz =  10,21 cm4       (9,92 mit Rundungen)

 

Die folgenden Formeln können ebenfalls verwendet werden.

Ih =  Iy . cos2 α  + Iz . sin2 α  - Iyz . sin

Iz =  Iy . sin2 α  + Iz . cos2 α  + Iyz . sin

  

Siehe auch [i]

  

Zur Probe sollte man, da die Spur der Matrix bzw. des Tensors in beiden Bezugssystemen den gleichen Wert haben muss, rechnen

 

Ih + Iz = Iy + Iz

96,37 + 10,21 := 90,6 + 15,99

 

Einfach- und doppeltsymmetrische Querschnitte mit Symmetrieachsen y, z

Die Bezugsachsen für die Anwendung der folgenden Formel müssen Hauptachsen sein.

 

 

Die Bezugsachsen für die Anwendung der folgenden Formel müssen Hauptachsen sein.

My := Moment dreht um die Achse y

Iy := Flächenmoment 2. Grades des Winkels bezogen auf die Achse y durch den Schwerpunkt

 

Das Widerstandsmoment ist der Quotient aus Flächenmoment und dem Abstand der Randfaser zur jeweiligen Hauptachse; z.B. Wy = Iy/ max z.

 

Querschnittswerte-Beispiel Nr. 4  symmetrischer Querschnitt, Rechteck unter der Belastung eines Biegemomentes

 

b = 2 cm

d = 4 cm

My = 100 kN cm

Iy = 2 . 43 / 12  cm4

Iy = 10,66 cm4

max z = d/ 2 = 4/ 2 = 2 cm

 

σx = (My/ Iy) . max z

σx = (100 kN cm/ 10,66 cm4) . 2 cm

σx =  18,75 kN/ cm2

σx =  18,75 . 1000 N/ (10 . 10 mm2)

σx =  187,5 N/ mm2

 

Wy = b . d2/ 6

Wy = 2 . 42 / 6  cm3

Wy = 5,33 cm3

σx = My/ Wy

σx = 100 kN cm/ 5,33 cm3 = 18,75 kN/ cm2 =  187,5 N/ mm2

 

Beispiel: Symmetrischer Querschnitt wie zuvor unter der Belastung zweier Biegemomente.

My = 40 kN cm

max z = d/ 2 = 4/ 2 = 2 cm

Mz = -30 kN cm

max y = b/ 2 = 1/ 2 = 0,5 cm

 

σx(y/z)=

 

 

 

σx(+1/+2)=

(40/10,66) . 2  -

(-30/2,67) . 1     =  

+7,5 + 80,1  = +87,6

σx(-1/-2)=

(40/10,66) . (-2)  -

(-30/2,67) . (-1) =

-7,5 – 80,1   = -87,6

σx(+1/-2)=

(40/10,66) . (-2)  -

(-30/2,67) . 1     =

-7,5 + 80,1   = +73,6

σx(-1;+2)=

(40/10,66) . 2  -

(-30/2,67) . (-1) =

+7,5 - 80,1   = -73,6

 

Die Spannungen sind axonometrisch dargestellt. Die Spannungsnulllinie geht durch den Symmetriepunkt, da die Normalkraft N=0 ist.

  

Spannungsnulllinie siehe auch [ii]  [iii]

 

Unsymmetrische Querschnitte

Die Bezugsachsen für die Anwendung der folgenden Formel müssen Hauptachsen sein.

 

Die Hauptachsen sind h und z und sind gegenüber den Achsen y, z durch den Schwerpunkt S um den Winkel α gedreht.

 

Querschnittswerte-Beispiel Nr. 5 Belastung eines unsymmetrischen Querschnitts durch Biegemomente

 

Gewählt wird der ungleichschenkliger Winkel nach DIN EN  10 056 (10.98) 100x50x6 des vorstehenden Beispiels

 

r1

mm

r2

mm

ey

cm

ez

cm

w1

cm

w2

cm

v1

cm

v2

cm

v3

cm

tan α

g

kN/m

8

4

3,51

1,05

6,55

4,39

1,90

3,00

1,12

0,262

0,0684

 

A

cm2

Iy

cm4

Wy

cm3

iy

cm

Iz

cm4

Wz

cm3

iz

cm

Ih

cm4

ih

cm

Iz

cm4

iz

cm

8,71

89,9

13,8

3,21

15,4

3,89

1,33

95,4

3,31

9,92

1,07

 

 

Flächenmoment 2. Grades

Hauptflächenmomente

Winkel

Iy = 89,9   cm4 

Iz = 15,4   cm4  

Iyz = 21,62 cm4

Ih =  95,4 cm4  

Iz =  9,92 cm4  

 

tan α = 0,262

α = 14,68 Grad

sin α = 0,253

cos α = 0,967

Für andere genormte Querschnitte können die Werte aus Tabellen in Handbüchern entnommen werden.

 

Beispiel für die Belastung:

N = 0

My = 100 kN cm = 100 . 1000 N . 0,01 m = 1000 N m

Mz = 50 kN cm = 500 N m

 

Transformation der Schnittlasten auf die Hauptachsen

Da der Querschnitt unsymmetrisch ist, müssen die auf die Achsen y, z bezogenen Schnittgrößen auf die Hauptachsen h,  z  transformiert werden.

 

Mh =   My . cos α  + Mz . sin α 

Mz = - My . sin α  + Mz . cos α 

 

Mh =  100 . 0,967 + 50 . 0,253

Mz = -100 . 0,253 + 50 . 0,967

 

Mh =  109,35 kN cm

Mz =  23,05  kN cm

 

σx = 0/ 8,71 + [109,35 kN cm/ 95,4 cm4] . z + [23,05/ 9,92 cm4] . h

σx = 0       + 1,146 . z                     + 2,323 . h    kN/ cm3

 

Die Spannung σx ist zum Beispiel an der rechten unteren Ecke des ungleichschenkligen Winkels, Koordinaten (h  = w2 = 4,39 cm / z = -v2 = -3,00 cm)

 

σx = 0       + 1,146 . (-3,00)               + 2,323 . 4,39 cm kN/ cm3

σx = 6,76 kN/ cm2 = 67,6 N/ mm2

 

Die Koordinaten der Punkte, in denen die größten Spannungswerte auftreten, können bei Normprofilen aus den Tabellenwerten w, v ermittelt werden. Andernfalls müsste man die Koordinaten (x, y) eines Punktes auf das Hauptachsensystem (h ,z) umrechnen.  

 

x1 =  ( h1 ,  z1 )T = R x

 

 

h1 = x . cos α +  y . sin α

z1 = -x . sin α +  y . cos α

 

Transformation z.B. des Punktes (x, y) = (1,05 / 3,51) = linke untere Ecke des Winkels

 

h1 =  1,05 . 0,967 +  3,51 . 0,253

z1 = -1,05 . 0,253 +  3,51 . 0,967

 

h1 =  1,903 cm

z1 =  3,128 cm

 

Gleichung der Spannungsnulllinie und Winkel β zwischen Nulllinie und Achse η.

tan β = (Mz . Ih )/ (Mh . Iz )

 

z = h . (Mz . Ih )/ (Mh . Iz ) – (N . Ih )/( Mh . A )

z = h . tan β – (N . Ih )/( Mh . A )

tan β = (Mz . Ih )/ (Mh . Iz )

tan β = (23,05  . 95,4)/ (109,35 . 9,92 )

tan β = 2,027

β = 63,74 Grad

 

 

Schiefe Biegung eines Balkens

Der Momentenvektor der Schnittlast ist in Komponenten Mz, Mh  zu zerlegen (im Beispiel bereits erfolgt). Die Verschiebungen in Richtung der Hauptachsen z, h  werden so berechnet, wie oben in den Beispielen gezeigt. Gegebenenfalls hat der Balken unterschiedliche Lagerungsbedingungen in den verschiedenen Ebenen der Hauptachsen. Die Durchbiegungen in den beiden Ebenen können als Vektor zu einem resultierenden Vektor der Durchbiegung entweder geometrisch oder rechnerischer zusammengefasst werden.

  

Die schiefe Biegung eines Winkels wird in  [iv]  und  [v]   sowie eines Z-Profils in   [vi]  dargestellt.

   

 

  

Bewertung der Beanspruchung durch Berechnung einer Vergleichsspannung  (Festigkeitshypothesen)   

  

Siehe auch  [vii]  

  

Der Spannungszustandes wird durch den Spannungstensor dargestellt. Dieser enthält (da die Schubspannungen paarweise gleich sind) im dreidimensionalen Fall sechs verschiedene Spannungswerte. Durch die Transformation des Spannungstensors in das Hauptachsensystem werden die Schubspannungen zu NULL.  Die drei Hauptspannungen vermögen daher den Spannungszustand ebenfalls zu beschreiben.

 

Bei der Berechnung der Vergleichsspannung wird nun der Vektor der Hauptspannungen bzw. werden die Komponenten des Spannungstensors in einen Skalar abgebildet.

 

Dies ist notwendigerweise mit einem Informationsverlust verbunden. Die Vergleichsspannung soll zudem ein Maß für das mögliche Versagen des Materials sein. Es gibt für die verschiedenen Materialien unterschiedliche Festigkeitshypothesen bzw. Vergleichspannungshypothesen. Die Abweichungen vom realen Verhalten des Stoffes sind zum Teil erheblich. Wir behandeln hier nur die für den Baustoff Stahl maßgebliche Vergleichsspannung.

 

Gestaltänderungshypothese Nach der Gestaltänderungshypothese (von Mises) tritt Versagen des Bauteils auf, wenn die Gestaltänderungsenergie einen maximalen Wert überschreitet. Verwendet wird diese Hypothese für zähe Werkstoffe (z.B. Stahl) unter ruhender und wechselnder Beanspruchung. Die Hypothese wird im Maschinenbau und im Bauwesen eingesetzt. Nicht brauchbar ist sie bei nahezu hydrostatischen Spannungszuständen.

 

Formel für die Mises-Vergleichsspannung im allgemeinen Spannungszustand:

Berechnung mit Hauptspannungen

Berechnung im ebenen Spannungszustand

Berechnung im ebenen Verzerrungszustand

 

Literatur  [viii]
 

Beispiel: Berechnung der Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungshypothese in dem gekennzeichneten Punkt an der Einspannstelle folgender Konstruktion

 

Vorgegebene Daten:

 

Warmgefertigtes rechteckiges Hohlprofil 200 x 100 x 6 nach DIN EN 10 219-2 (11.97)

 

Statische Werte aus Tabelle

A = 33,6 cm2 = 3360 mm2

Iy = 1703 cm4 = 1704 104 mm4

Iz = 577 cm4 = 577 104 mm4

IT = 1417 cm4

 

Länge L = 500 mm

Belastung im Punkt A(x=500; y=50; z=100 mm) ist der Kraftvektor (Fx,d; Fy,d)T.

Fx,d = N = -10 000 N

Fy,d = -10 000 N

 

Anm. Die in der Zeichnung dargestellten Kraftvektoren zeigen in die positive Richtung.

Y ist die Richtung der Achse, zu der die Kraft parallel ist.

d steht für „design“ und deutet darauf hin, dass der Wert der Bemessungswert ist. Bemessungswerte entstehen aus den sogenannten charakteristischen Werten (Werten im Gebrauch, Index K) durch Multiplikation mit zwei Beiwerten:

gF = Teilsicherheitsbeiwert der Einwirkung (bei ständiger Einwirkung z.B. 1,35)

y    = Kombinationsbeiwert (in den meisten Fällen 1)

Fd = Fk . gF .  y

In diesem Beispiel werden nicht die charakteristischen Werte aus einer Statik ermittelt, sondern (ausnahmsweise) die Bemessungswerte (Index d) vorgegeben.

 

Schnittlasten an der Stelle, x=500, im Schwer- und Symmetriepunkt O(x=500; y=0; z=0)

Die Eingeprägten Kräfte werden in den Schwerpunkt des Profils verschoben.

 

My = Fx,d . 100 = -10 000 . 100 = 1000 000 N mm

 

Mz = - Fx,d . 50 = -(-10 000) . 50 = 500 000  N mm

 

Mx = MT = -Fy,d . 100 = -(-10 000) . 100 = 1000 000 N mm

 

Schnittlasten an der Einspannstelle, im Schwer- und Symmetriepunkt O(x=0; y=0; z=0)

Fx,d  bewirkt ein zusätzliches Biegemoment  

Mz =  Fy,d . 100 = -10 000 . 100 = -1000 000 N mm

Fx,d bewirkt an der Einspannstelle keine Änderung der Schnittlasten.

 

Die resultierenden Schnittlasten an der Einspannstelle sind demnach

Fx,d = N = -10 000 N

Fy,d = Vy,d  =  -10 000 N

My = 1000 000 N mm

Mz = 500 000 -1000 000  = -500 000  N mm

Mx = MT = 1000 000 N mm

 

Berechnung der Spannungskomponenten im an der Einspannstelle.frei gewählten Punkt A(x=0; y=-50; z=100)  ist

 sx = -10 000 N/ (3360 mm2) +

 (1000 000 N mm . 100 mm)/ (1703 . 103 mm4) –

(-500 000 . (-50)/ (577 . 103 mm4) =

-2,98 + 58,7 – 43,3 = 12,39 N/ mm2

Die Schubspannung infolge Vy,d   ist in A Null (Siehe dazu den Verlauf der Schubspannung über die Höhe eines Rechteckquerschnittes, oben)

 

Die Schubspannung infolge MT ist

Am = (200 – 6) . (100 -6) = 18 236 mm2

t = 6 mm

t  = (1000 000 N mm)/ (2 . 18 236 mm2 . 6 mm) = 4,57 N/ mm2

 

Berechnung der Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungshypothese

\sigma_v = \sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2
-\sigma_x\sigma_y
+3\tau_{xy}^2}

 

sx = 12,39 N/ mm2

sy = 0 N/ mm2

t  = 4,57 N/ mm2

 

sV,d = 14,7 N/ mm2   Entwurfsvergleichspannungswert

 

Nachweis der Tragsicherheit in dem Punkt A

 

gM = Teilsicherheitsbeiwert der Widerstandsgröße

gM = 1,1 zur Berechnung der Bemessungswerte der Festigkeiten beim Nachweis der Tragsicherheit, z.B. der Wert 1,1, kann Tabellen entnommen werden.

 

fy,k = Streckgrenze N/ mm2

(bei Baustahl S235, t<= 40 mm, fy,k = 240 N/ mm2)

 

sR,d = fy,k/ gM

sR,d = 240/ 1,1 = 218 N/ mm2

 

sV,d / sR,d = 14,7 / 218 = 0,07 < 1  (das heißt, eine sehr geringe Ausnutzung)

 

Zum Nachweis der Tragsicherheit der Konstruktion müssen weitere Punkte berechnet werden.

 

Bei dem Nachweis in einem Punkt auf einem horizontalen Abschnitt des Profils muss zusätzlich die Schubspannung infolge Querkraft Vy berücksichtigt werden. Die Berechnung dieser Schubspannung wurde im vorigen Beispiel am Rechteckquerschnitt gezeigt. [ix] 

  



[i] http://imf.tu-dresden.de/studium/skripte/download/tm2_arbeitsmittel.pdf

Seite 15 Flächenmomente dünnwandiger Profile in schräger Anordnung

 

[ii] http://imf.tu-dresden.de/studium/skripte/download/tm2_arbeitsmittel.pdf

S.27, Spannungsnulllinie

 

[iii] http://www.statik-hilfen.de/Mechanik/Klausuren/TM_07_2003_Loesung.pdf

Aufgabe 3, Berechnung der Spannungsnulllinie

 

[iv] http://www-home.htwg-konstanz.de/~steibler/VORLESUNG/BILDER/VorlesungSchiefeBiegung.pdf

Schiefe Biegung eines Winkelprofils

 

[v] http://www.dirk-froehling.privat.t-online.de/downloads/files/Mechanikaufgaben.pdf

S. 341 Schiefe Biegung eines Winkels

 

[vi] http://www.dirk-froehling.privat.t-online.de/downloads/files/Mechanikaufgaben.pdf

S.339 Schiefe Biegung eines Z-Profils

 

[vii] http://www.mech-albers.de/KontinuumAlbersDresden.pdf

Festigkeitshypothesen

 

[viii] http://public.beuth-hochschule.de/~hama/pdf/ABS%202-N.pdf

2.5 Vergleichsspannungen

 

[ix] http://public.beuth-hochschule.de/~hama/pdf/ABS%202-N.pdf

2.2 Nachweise, z.B. ausreichende Tragsicherheit