Klausur-Beispiele
Aufgaben zur / zum
Aufgaben
zur Statik
Letztes Update am 03.05.16
· Freischneiden der
gesamten Konstruktion sowie von Teilen der Konstruktion bei Gerberbalken
· Lagerreaktionen
und Querkräfte
· Statik-Beispiel Nr. 1
(typischer Verlauf der Schnittlasten)
· Statik-Beispiel Nr. 2 Einzellast auf Einfeldträger
· Statik-Beispiel Nr. 3
Einfeldträger mit Einzellast an beliebiger Stelle
· Statik-Beispiel Nr. 4 Belastung
durch Moment
· Statik-Beispiel Nr. 5
Einfeldträger mit Kragarm
· Statik-Beispiel Nr. 6
Träger mit Kragarmen. Verwendung eines Ersatzsystems
· Statik-Beispiel Nr. 7 Einfeldträger mit Gleichlast:
· Statik-Beispiel Nr.
8 Dreigelenkrahmen
· Freischneiden der gesamten Konstruktion sowie von Teilen der
Konstruktion bei Gerberbalken
Es ist üblich zur
Berechnung der Auflagerreaktionen um die gesamte Konstruktion eine
geschlossenen Linie zu ziehen, die die Aktionskräfte und Reaktionskräfte (in
der Physik wird der Begriff Zwangskräfte verwendet) schneidet. Der innerhalb
der Linie, des Schnitts, liegende Teil der Konstruktion muss die
Gleichgewichtsbedingungen erfüllen.
Schneidet die Linie
die Konstruktion, in der Regel einen Stab, so sind am Schnittufer des Stabes
oder Balkens Schnittlasten wirksam (siehe dazu das Bild auf der nächsten
Seite): An einem rechten Schnittufer zeigt die Normalkraft N in der Achse des
Balkens vom Schnitt weg. Die Querkraft V (früher Q) weist an einem rechten
Schnittufer nach unten. Das (Biege-)Moment ist positiv, wenn es in der (meist
unteren) Faser eines Balkens Zug bewirkt. Diese wird durch eine
Strich-Strich-Linie gekennzeichnet. Bevor Sie mit dem Freischneiden beginnen,
sollten Sie alle Stäbe der Konstruktion auf einer Seite des Querschnitte mit
einer Strich-Strich-Linie versehen, so dass Sie nach dem Schnitt wissen, in
welche Richtung die Schnittlasten (bei positiven Werten der Schnittlast)
zeigen. In den unten zu findenden Beispielen zum Einfeldträger ist – wie bei
Statikern üblich - die Strich-Strich-Linie nicht dargestellt worden. Sie liegt
bei Einfeldträgern, ohne dass es eines Hinweises bedarf, unten.
In der Ebene haben
Sie bei einem an beiden Seiten gelenkig gelagerten Balken 3
Gleichgewichtsbedingungen, um die Lagerreaktionen zu bestimmen. Ist der Balken
einseitig eingespannt, so brauchen Sie eine weitere Bedingung. Diese liefert
häufig ein Gelenk.
Wenn ein Balken ein
Gelenk aufweist (Gerberbalken), so legt man auch durch dieses Gelenk einen
Schnitt und stellt an den beiden freigeschnittenen Teilen des Balkens jeweils
separat die Gleichgewichtsbedingungen auf. Die Summe der Momente an jedem
Balkenabschnitt links bzw. rechts vom Gelenk ist Null.
Manchmal ist der Gerberbalken
nicht sofort als solcher zu erkennen, nämlich dann, wenn ein 3-Gelenk vorliegt.
Auch hier wird empfohlen, durch das Gelenk einen Schnitt zu legen und an den
beiden freigeschnittenen Teilen jeweils separat die
Momenten-Gleichgewichtsbedingungen aufzustellen, und zwar bezogen auf das
Gelenk des Gerberbalkens, damit die Kräfte im Gelenk in der
Momenten-Gleichgewichtsbedingung nicht auftauchen.
Die beiden
Kräftegleichgewichtsbedingungen werden für das gesamte System aufgestellt. Man
erhält dann zwar die Kräfte im Gelenk nicht, hat aber nur 4 Gleichungen für die
4 Auflagerkräfte zu lösen. Wenn jedoch auch nach den Kräften im Gelenk gefragt
wird, kann es zweckmäßig sein, jeweils zwei Kräftegleichgewichtsbedingungen für
die beiden Teile aufzustellen. Man hat dann 6 Gleichungen für 4 Auflagerkräfte
und zwei Gelenkkräfte.
Statiker stellen eine
Weg-Unverschieblichkeit häufig durch einen kurzen Strich dar (symbolisiert eine
Pendelstütze); Gelenke durch einen kleinen Kreis. An Einspannungen ist w´= dw/
dx = 0 und an freien Enden ist M = 0; V = 0.
Reichen die
Gleichgewichtsbedingungen für die Berechnung der Lagerreaktionen und
Schnittlasten aus, ist das System statisch bestimmt; oder auch: Die
Determinante der Systemmatrix ist ungleich Null. Andernfalls ist das System
statisch unbestimmt (oder labil). Da in der Praxis für die Berechnung Programme
verwendet werden, spielt diese Frage keine größere Rolle mehr, jedoch nur bei
der Berechnung! Nicht bei der Beurteilung der Sicherheit gegen Versagen der
Konstruktion.
Lagerreaktionen und Querkräfte
Aus der Berechnung
der Auflagerkräfte ergibt sich in der Regel, dass die Auflagerkraft A als
Reaktionskraft nach oben zeigt. Statiker definieren die Auflagerkraft als
positiv, wenn sie als Reaktionskraft von unten nach oben zeigt. Die Definition
der positiven Richtung einer Querkraft V weicht jedoch hiervon ab:
An einem rechten
Schnittufer, zum Beispiel neben dem Auflager, zeigt die positive Querkaft nach
unten. Beide, A und V stehen im Gleichgewicht. Um nun die
Gleichgewichtsbedingung aufschreiben zu können, müssen wir für die Kräfte einer
Gleichgewichtsbedingung eine einheitliche Richtung als positiv vereinbaren. Wir
wählen die von +A als die allgemeingültige positive Richtung, sind aber dabei
in unserer Entscheidung völlig frei. Diese Regelung gilt also sowohl für
Reaktions- (Zwangs-)Kräfte als auch eingeprägte Kräfte, da bei Anwendung der
Gleichgewichtsbedingung nur eine Regelung gelten darf. Damit haben wir hier
(bei der Aufstellung der Gleichgewichtsbedingung) die Orientierung von
Querkraftvektoren V als positiv (+) festgelegt, wenn sie von unten nach oben
wirken bzw. sie sind negativ, wenn sie von oben nach unten wirken: A - V = 0;
Somit ist V = A und V rechts vom Auflager A des Einfeldbalkens positiv.
Als positive Richtung
einer eingeprägten Kraft F wählen wir die Richtung des Vektors von oben nach
unten, wie dies allgemein üblich ist. An einer Stelle des Einfeldbalkens, an
der F einwirkt, gilt daher:
A - V - F = 0; V = A – F
Die Querkraftlinie
macht daher an der Einleitungsstelle der Kraft einen Sprung nach unten.
Man beachte: es gibt
3 unterschiedliche Definitionen für die positive Richtung, nämlich die für
Reaktionen, die für Schnittlasten und die für die Aufstellung der Gleichgewichtsbedingungen!
Die hier gewählten Definitionen sind unter Statikern üblich und stimmen mit den
Normen des Eurocodes überein. Als Ingenieur sollte man sich auf diese
Richtungs-Definitionen festlegen. Wir werden diese Definitionen im Abschnitt
über die Bemessung von Biegequerschnitten ausbauen.
Hinweis: Die
(positive) Richtung einer Kraft wird durch die Orientierung des Vektors
bestimmt, der die Kraft dargestellt. Der Betrag der Kraft wird durch die Länge
des Vektors bestimmt. Die Zahl, die man an den Vektor schreibt, ist deshalb
immer positiv.
Es gibt in der Regel
zwei Möglichkeiten, den Verlauf der Biegemomentenlinie längs der Balkenachse zu
ermitteln.
Die eine Methode
besteht darin, einen Schnitt so zu legen, dass er den Balken dort schneidet, wo
das Moment ermittelt werden soll. Dies ist vor allem dort, wo Einzelkräfte
eingeleitet werden. An dem freigeschnittenen Teil wird das
Momentengleichgewicht nach den gleichen Regeln aufgestellt, wie für die
Ermittlung der Auflagerreaktionen. Man erhält so Punkte, in denen der Wert von
M bekannt ist und verbindet diese mit Linien. Zwischen Punkten, in denen
Einzelkräfte eingeleitet werden, sind die Momentenlinien Geraden.
Treten Streckenlasten
auf, so werden diese in Einzellasten umgerechnet, um den Wert des Moments in
einzelnen Punkten zu ermitteln. Bei konstanten Streckenlasten sind die
Momentenlinien Parabeln. Um den maximalen Stich der Parabel zwischen zwei
Punkten, in denen M bekannt ist, zu ermitteln, kann man sich den Balkenabschnitt
zwischen den beiden Punkten als gelenkig gelagerten Balken vorstellen und
ermittelt den Stich nach der Formel q.l2/ 8.
Die andere Methode
besteht darin, q als Funktion q(x) darzustellen und M durch Integration zu
berechnen.
Schreibt man an einem
herausgeschnittenen Balkenelement die Gleichgewichtsbedingungen auf, so gelangt
man zu den Beziehungen
dM(x)/ dx = V(x)
dV(x)/ dx = -q(x)
Die Integration liefert
V(x) = -∫ q(x) dx + C1
M(x) = ∫ V(x) dx + C2
Die Auswertung
erfolgt zwischen den jeweiligen Abschnittsgrenzen als unbestimmtes Integral.
Die Konstanten werden durch die Werte an den Abschnittsgrenzen, in der Regel
den Rändern, bestimmt (Randbedingungen).
An den Stellen, an denen eine Einzellast eingeleitet wird, wird
ebenfalls eine Abschnittsgrenze angeordnet. Damit die Konstante an solchen
Abschnittsgrenzen bestimmt werden kann, muss der Wert der Querkraft an der
Grenze durch Anwendung der Gleichgewichtsbedingungen vorher bestimmt werden.
Wenn auf den Balken
eine Strecken- oder Gleichlast wirkt, ist die Querkraftlinie eine geneigte
Gerade und die Momentenlinie eine Parabel. [i]
Statik-Beispiel Nr. 1 (Es soll der typische Verlauf der Schnittlasten
gezeigt werden):
Zweifeldträger,
statisch unbestimmt, konstanter Querschnitt in beiden Feldern, am rechten Ende
eingespannt (Randbedingungen w=0, w´=0,
das heißt die Biegelinie hat eine waagerechte Tangente)
Die Berechnung
erfolgt mit einem Programm (Harzer Software, Ebenes Stabwerk 2.5) [ii]. Es
soll der typische Verlauf der
Schnittlasten M und V (früher Q) kennen
gelernt werden, insbesondere die von Statikern verwendete Darstellung.
Die Länge des 1.
Feldes ist 3,0 m, die des zweiten Feldes 1,5 m. Die Gleichlast hat den Wert 1
kN/m.
Die Orientierung der
positiven Richtungen der Stützkräfte und des Moments werden vom Programm
ausgegeben. Folgende Regelungen sind üblich: Die positive Richtung der
Gleichlast ist von oben nach unten; die positive Richtung der Auflagerkraft ist
von unten nach oben und die positive Richtung der Querkraft ist am rechten
Schnittufer von oben nach unten.
Bei der Darstellung
der Momente in einem Diagramm werden positive Momente nach unten, negative
Momente nach oben („negatives Stützenmoment“); bei der Darstellung der
Querkraft positive Werte nach oben abgetragen.
Das nachfolgende Bild
soll demonstrieren, dass die Ausgabe keine Informationswünsche offen lässt.
Im Lastfall Nr. 2 verwenden wir das
gleiche System, jedoch setzen wir in die Mitte des 1. Feldes eine Einzellast
von 3 kN. Damit soll gezeigt werden, dass – im Gegensatz zur Gleichlast –
Geraden statt Parabeln für den Verlauf von Momenten erzeugt werden.
Bei den Querkräften
tritt an den Stellen, an denen eine Einzellast eingeleitet wird, sei es eine
eingeprägte Last oder eine Auflagerkraft, ein Sprung auf. Hier zeigt sich, wie
sinnvoll die Vorzeichenregeln der Statiker sind. Die am Auflager 1 positive
Querkraftlinie ist konstant; sie hat einen Sprung nach unten, an der Stelle, an
der die nach unten zeigende Kraft eingeleitet wird.
Nun zeigen wir die
Ergebnisse der Überlagerung der Lastfälle 1 und 2. Selbstverständlich ermittelt
das Programm auch die Stellen, an denen Extremwerte für die Schnittlasten bei
der Überlagerung verschiedener Lastfälle auftreten. In der Regel werden die
Querschnitte für diese Stellen bemessen.
Statik-Beispiel
Nr. 2 Einzellast auf Einfeldträger
Kräfte sind entsprechend den Gepflogenheiten der
Statiker in der dargestellten Richtung positiv. Das heißt: Die Kräfte und
Momente werden durch einen Vektor, der die Orientierung bestimmt, und den
Betrag (die Länge des Vektors) dargestellt (also ohne Vorzeichen).
Gleichgewichtsbedingungen:
S M um rechtes Auflager = 0
-Az
. l + F . l/2 = 0
S Fx
= 0
Ax
= 0
S Fz
= 0
Az
+ Bz – F = 0
Dies sind 3 Gleichungen für die 3 Unbekannten: Ax, Az, Bz
Ax
= 0 kN
Az
= F/2 kN
Bz = F/2 kN
Die Querkraft V im linken Balkenabschnitt kann
wieder aus einer Gleichgewichtsbedingung ermittelt werden.
S Fz
= 0
Az
– V = 0
V = Az
= F/2
Die Querkraft ist im linken Abschnitt positiv.
Um die Querkraft im rechten Abschnitt zu ermitteln, muss man einen Schnitt
durch den linken Abschnitt legen. Es ergeben sich zwei Teilabschnitte. Am
linken Abschnitt lautet das Gleichgewicht:
S Fz
= 0
Az
– V -F = 0
V = Az
-F = F/2 – F = -F/2
Mit etwas Erfahrung weiß man, dass von links
fortschreitend, jede nach unten zeigende eingeprägte Kraft den Wert V um den
Betrag der eingeprägten Kraft vermindert.
Kräfte sind entsprechend den Gepflogenheiten der
Statiker in der dargestellten Richtung positiv.
Gleichgewichtsbedingungen:
S M um
rechtes Auflager B = 0
-Az
. 8 + 5 . 6,0 = 0
S Fx
= 0
Ax
= 0
S Fz
= 0
Az
+ Bz – 5 = 0
Dies sind 3
Gleichungen für die Bestimmung der 3 Unbekannten: Ax, Az,
Bz
Ax
= 0 kN
Az
= 3,75 kN
Bz
= 1,25 kN
Die Querkraft V im linken Balkenabschnitt kann
wieder aus einer Gleichgewichtsbedingung ermittelt werden.
S Fz
= 0
Az
– V = 0
V = Az
= +3,75 kN
Die Querkraft ist im linken Abschnitt positiv.
Um die Querkraft im rechten Abschnitt, rechts von der eingeprägten Kraft F, zu
ermitteln, muss man einen Schnitt, wie dargestellt, legen.
Am linken Abschnitt lautet das Gleichgewicht:
S Fz
= 0
Az
– V - F = 0
V = Az
-F = 3,75 – 5 = - 1,25 kN
Mit etwas Erfahrung weiß man, dass von links
fortschreitend, jede nach unten zeigende eingeprägte Kraft den Wert V um den
Betrag der eingeprägten Kraft vermindert. Siehe dazu die Querkraftlinie unten.
Generell gilt: Auf das Lösen des Integrals über q kann verzichtet werden, wenn
nur Einzelkräfte eingeleitet werden. Sogar das Aufstellen der
Gleichgewichtsbedingungen zur Ermittlung von V in bestimmten Punkten ist
überflüssig, wenn man in der graphischen Darstellung – ausgehend vom linken
Auflager – die hinzukommenden Kräfte von der V-Linie vorzeichenrichtig abträgt.
Um die Momentenlinie zeichnen zu können, braucht
man – wenn nur Einzelkräfte eingeleitet werden – ebenfalls nicht das Integral
über die Querkraft zu lösen. An den Auflagern ist in diesem Beispiel das
Biegemoment Null. Im Punkt der Krafteinleitung erfährt die gerade Momentenlinie
einen Knick.
Gleichgewichtsbedingung am linken Abschnitt:
M(x=2) – 3,75 * 2,0 = 0
M(x=2) = 7,50 kN m
Dieser positive Wert wird nach unten abgetragen!
Statik-Beispiel
Nr. 4 Belastung durch Moment
Gleichgewichtsbedingungen:
S M um
rechtes Auflager B = 0
-Az . 8 + M0 = 0
S Fx
= 0
Ax = 0
S Fz
= 0
Az + Bz = 0
Dies sind 3 Gleichungen für die 3 Unbekannten: Ax,
Az, Bz
Ax = 0 kN
Az = M0/8 = 10/8 = 1,25 kN
Bz = -Az = -1,25 kN
Die
Querkraft V kann wieder aus einer Gleichgewichtsbedingung ermittelt werden.
S Fz
= 0
Az – V = 0
V = Az = +1,25 kN
Die
Querkraft ist im gesamten Balken positiv.
Um
die Momentenlinie zeichnen zu können, braucht man nicht das Integral über die
Querkraft zu lösen. Am linken Auflager ist das Biegemoment Null. Am rechten
Auflager ist M= M0
Gleichgewichtsbedingung
am linken Abschnitt:
S M um
linkes Auflager A = 0 = M(x) – 1,25 . x
M(x)
= 1,25 . x kN m
Dieser
positive Wert wird nach unten abgetragen!
Statik-Beispiel
Nr. 5 Einfeldträger mit Kragarm
Im
folgenden Beispiel wird ein Kragarm angefügt, auf dessen Ende eine schräge
Einzelkraft wirkt. Bild siehe bitte unten.
Gleichgewichtsbedingungen:
S M um
rechtes Auflager = 0
-Az . 10 m – 2 kN . cos 45 . 3,5 m = 0
S Fx
= 0
Ax – 2,0 kN . sin 45 = 0
S Fz
= 0
Az + Bz – 2,0 kN . cos 45 = 0
Dies sind 3 Gleichungen für die 3 Unbekannten: Ax,
Az, Bz
Ax = 0 kN,
Az = -0,49 kN
Bz = -Az + 2,0 . 0,707 = 0,49 kN + 2,0 . 0,707 = 1,90
kN
Die
Querkraft V im rechten Balkenabschnitt kann aus einer Gleichgewichtsbedingung
ermittelt werden.
S Fz
= 0
2,0 kN . cos 45 – V(Kragarm) = 0
V(Kragarm) = +1,41 kN
Die
Querkraft ist im linken Abschnitt negativ. Um die Querkraft im linken Abschnitt
zu ermitteln, muss man einen Schnitt durch den linken Abschnitt legen. Am
linken Abschnitt lautet das Gleichgewicht:
S Fz
= 0
Az – V = 0
V = Az = -0,49 kN
Mit
etwas Erfahrung weiß man, dass von links fortschreitend, jede nach unten
zeigende eingeprägte Kraft den Wert V um den Betrag der eingeprägten Kraft
vermindert. Umgekehrt vergrößert eine von unten nach oben zeigende Kraft den
Wert von V. Dies ist am Auflager B der Fall. Die Querkraft im Kragarm kann man
zusätzlich aus dem Gleichgewicht des geschnittenen Kragarms zur Kontrolle
ermitteln.
Bei
manchen Aufgaben wird nur nach den Schnittlasten im Abschnitt A-B gefragt. Dann
sollte man zunächst Schnitte um die Kragarme legen und die im Schnitt frei
werden Lasten als eingeprägte Lasten behandeln.
Statik-Beispiel
Nr. 6 Träger mit Kragarmen. Verwendung eines
Ersatzsystems
Ein gerader Stab wird
durch zwei Einzellasten belastet. Das Eigengewicht bleibt unberücksichtigt. Zu
ermitteln sind
a) die Auflagerkräfte,
b) die Querkraftlinie im
Abschnitt A-B,
c) die Momentenlinie im
Abschnitt A-B.
Hinweis: Sie können die
Berechnung auch an einem Ersatzsystem durchführen, bei dem Kragarme durch
eingeprägte Belastungen ersetzt worden sind.
Um in den einzelnen
Abschnitten die Vorzeichen der Schnittlasten festlegen zu können, werden
Strich-Strich-Linien auf der Seite gezeichnet, auf der sich die Zugfaser unter
Biegung befinden soll. Man hat damit eine Vergleichbarkeit des jeweiligen
Abschnittes mit dem Einfeldträger, bei dem sich die Zugfaser und
Strich-Strich-Linie auf der Unterseite befand. Man ist frei darin, wo man die
Strich-Strich-Linie anbringt. Um keine Verwirrung zu stiften, sollte man sie
bei einem durchlaufenden Träger stets auf der gleichen Seite anordnen, wie dies
auch in dem folgenden Beispiel zu sehen ist.
Die Zugfaser bzw.
Strich-Strich-Linie bietet den Vorteil, sofort das Vorzeichen des Biegemomentes
angeben zu können. Unter einem positiven Moment wird die Zugfaser gezogen.
Querkraft
Moment
Normalkraft
Statik-Beispiel
Nr. 7 Einfeldträger unter konstanter
Gleichlast:
Im
folgenden Beispiel wird ein Einfeldträger durch eine Gleichlast belastet.
Gleichgewichtsbedingungen:
S M um
rechtes Auflager = 0
-Az . 10 m + (2 kN/m . 10 m) . 5 m = 0
S Fx
= 0
Ax = 0
S Fz
= 0
Az + Bz – (2,0 kN/m . 10 m) = 0
Dies sind 3 Gleichungen für die 3 Unbekannten: Ax,
Az, Bz
Ax = 0 kN, Az =
10 kN Bz
= 10 kN
Die
Querkraft V am linken Auflager A kann aus einer Gleichgewichtsbedingung
ermittelt werden.
S Fz
= 0
10 kN – V(A) = 0
V(A) = +10 kN
Die
Querkraft am rechten Auflager kann man ebenfalls durch eine
Gleichgewichtsbedingung ermitteln:
S Fz
= 0
10 kN + V(B) = 0
V(B) = -10 kN
Den
Verlauf der Querkraft kann man dann durch Zeichnen einer Geraden zwischen
diesen beiden Punkten darstellen.
V(x) = -∫ q(x) dx + C1
V(x) = - ∫ 2 kN/m dx1
+ C1 = -2 . x + C1
V(x=0) = 10 kN = -2 . x + C1
C1 = 10 kN
V(x) = -2 kN/m . x m + 10 kN
Probe: V(x=10 m) = -2 . 10 + 10 = -10 kN
M(x) = ∫ V(x) dx + C2
M(x) = ∫ V(x) dx + C2
= ∫ -2 . x + 10 dx + C2
M(x1) = -2 . x2/ 2 + 10 . x + C2
M(x=0) = 0 + 0 + C2
C2 = 0
M(x) = -2 . x2/ 2 + 10 . x
Probe: M(5) = -2 . 52/ 2 + 10 . 5 = -25 + 50
= 25 kN m
Das maximale Moment in Feldmitte eines Einfeldbalkens unter
Gleichlast ist nach einer unter Statikern sehr bekannten Formel q.l2/ 8 = 2 . 102/ 8 = 25 kN m
Statik-Beispiel
Nr. 8 Dreigelenkrahmen
Mit dem folgenden Beispiel soll die
Transformation der Auflagerkräfte am Knoten A aus dem globalen
Koordinatensystem x,z in das lokale x1, z1 des Stabes A-C geübt
werden. Auch die Transformation der Streckenlast erfordert nicht ganz einfache
Überlegungen.
Dreigelenkrahmen
Die Auflagerkräfte
sind positiv in der angezeigten Richtung.
Gleichgewichtsbedingungen:
Summe der Momente um
Punkt C
S Mlinks = 0
-Az
. 5 + Ax . 3 + 1,00 . 5,00 . 5/ 2 = 0
S Mrechts
= 0
Bz
. 5 + Bx . 3 – 1,00 . 5,00 . 5/2 – 5 . 1,5 = 0
S Fx
= 0
Ax
+ Bx – 5 = 0
S Fz
= 0
Az
+ Bz – 1,00 . 10 = 0
Dies sind 4
Gleichungen für die Ermittlung der 4 Unbekannten: Ax, Az, Bx, Bz
Ax
= 5,417 kN
Az
= 5,750 kN
Bx
= -0,417 kN
Bz
= 4,250 kN
In der folgenden
Darstellung „Stützkräfte aus LF1“ entspricht der Knoten Nr. 1 dem Knoten A in
der obigen Zeichnung, der Knoten Nr. 4 entspricht dem Knoten B in der obigen
Zeichnung.
Das Programm liefert
für die Schnittlasten folgende Ergebnisse:
Zur Berechnung der Kräfte im Knoten C bilden
wir die Gleichgewichtsbedingungen:
S Fx
= 0
Berechnung
von C:
5,42 + Cx
= 0
Cx
= -5,42 kN
S Fz
= 0
5,75 + Cz
– 5,00 = 0
Cz
= -0,75
Am Stab A-C = Stab 1
soll nun der Verlauf der Querkraft und des Biegemoments berechnet werden. V im Punkt A ist aus der Randbedingung V(x1=0) = Az1 zu berechnen. Dies
ist die Auflagerkraft senkrecht zur Balkenachse x1 (siehe Abbildung des
kompletten Dreigelenkrahmens weiter oben). Sie setzt sich aus Anteilen der
Auflagerkräfte Ax und Az zusammen. Die Ermittlung kann graphisch oder rechnerisch
erfolgen; die Vorzeichen werden der graphischen Darstellung der Kräfte, das
heißt dem Kräfteplan, entnommen:
Ax =
5,417 kN
Az =
5,750 kN,
Az11/
5,75 = 5/ 5,83
Az11
= 4,93 kN
Az12/
5,42 = 3/ 5,83
Az12
= -2,79 kN
Az1
= 4,93 - 2,79 = 2,14 kN
Dieses Ergebnis kann
man auch durch eine Vektortransformation erhalten, und zwar durch eine Drehung
des Systems (x1,z1) gegen das System (x,z). Der Drehwinkel kann in mathematisch
positiver Drehrichtung (siehe Pfeil) aus sin α = 3,0/ 5,831 = 0,514 bzw. cos α = 5,0/ 5,831 = 0,857
ermittelt werden. Die Drehmatrix R ist orthogonal. Die Transformationsgleichung
ist
A1 = R A
A1x = Ax . cos α + Az . sin α
A1z = -Ax . sin α + Az . cos α
A1x
= 5,417 . 0,857 +
5,750 . 0,514 = 7,597 kN
A1z
= -5,417 . 0,514 +
5,750 . 0,857 = 2,14 kN
Umrechnung der
Gleichlast von kN/ (m horizontal im globalen System) auf kN/ (m in Richtung der
Stabachse x1).
(5/ 5,83) . 1,00 kN/m . 5,00 m = pz1
. 5,83 m
pz1
= 0,73 kN/ m
Dieselbe
Gleichung in anderer Schreibweise:
pz
= pz1 / (cos α)2
Probe: V1(x1=5,83
m) = 2,14 – 5,83 . 0,73 = -2,14 kN
Die Werte der
Querkraft an den Stabenden sind dem Betrage nach entgegengesetzt gleich.
V1(x1) ist die Querkraft im
Koordinatensystem des Stabes.
V1(x1)
= - ∫ 0,73 dx1
+ C1 = -0,73 . x1
+ C1
V1(x1=0)
= 2,14 kN = -0,73 . x1 + C1
C1
= 2,14 kN
V1(x1)
= -0,73 kN/m . x1 m + 2,14 kN
Probe: V1(x1=5,83
m) = 2,14 – 5,83 . 0,73 = -2,14 kN
M1(x1)
= ∫ V1(x1)
dx1 + C2 = ∫ -0,73 . x1
+ 2,14 dx1 + C2
M1(x1)
= -0,73 . x12/
2 + 2,14 . x1 + C2
M1(x1=0)
= 0 kN = 0 + C2
C2
= 0
M1(x1)
= -0,73 . x12/
2 + 2,14 . x1
Probe: M1(x1=5,83
m) = -0,73 . 5,832/ 2 + 2,14 . 5,83 = 0
[i] http://www-docs.tu-cottbus.de/mechanik/public/pdf/TM1/tm1-m09.pdf
Anschauliche und
ausführliche Darstellung der Beziehungen zwischen den Schnittlasten
[ii] http://www.harzerstatik.de/index.php/onlinedemo
Downloadadresse für
Statikprogramm ebene Stabwerke
Die Abbildungen
dieses Abschnitts wurden mit diesem Programm erzeugt.